Octubre

Lunes 10

Presentación del curso.

Jueves 13

                                                                    Número complejo

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Definición

Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z = (a, b). A su vez el primer elemento a se define como parte real de z, se denota ${\displaystyle a={\text{Re}}(z)}$; el segundo elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota ${\displaystyle b={\text{Im}}(z)}$. Luego en el conjunto ℂ de los números complejos, se definen tres operaciones y la relación de igualdad:

• Suma

${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,\,b+d)}$

• Producto por escalar

${\displaystyle r(a,b)=(ra,\,rb)}$

• Multiplicación

${\displaystyle (a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)}$

• Igualdad

${\displaystyle (a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d}$

 A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

• Resta

${\displaystyle (a,b)-(c,d)=(a-c,\,b-d)}$

• División

${\displaystyle {\frac {(a,b)}{(c,d)}}={(ac+bd,\,bc-ad) \over c^{2}+d^{2}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}},{bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)}$

Al número ${\displaystyle (a,0)}$ se denomina número complejo real y como entre el conjunto de estos y el conjunto ℝ de los números reales se establece un isomorfismo , se asume que todo número real es un número complejo. Al número complejo ${\displaystyle (0,b)}$ se denomina número imaginario puro. Puesto que ${\displaystyle (a,0)+(0,b)=(a,b)}$ se dice que un número complejo es la suma de un número real con un número imaginario puro.⁴

Unidad imaginaria[editar]

Se define un número complejo especial, sobre todo en el álgebra, de suma relevancia, el número i ( j en física), llamado unidad imaginaria, definido como

${\displaystyle \mathrm {i} =(0,1)\,\!}$

Que satisface la siguiente igualdad:

${\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=\mathrm {i} \cdot \mathrm {i} =(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)=-1}$

De donde resulta:

${\displaystyle {\sqrt {-1}}=\mathrm {i} }$

Tomando en cuenta que ${\displaystyle (a,0)\cdot (0,1)=(0,a)}$, cabe la identificación

${\displaystyle (a,0)\cdot (0,1)=a\mathrm {i} =(0,a)}$

Conjugado de un número complejo[editar]

Dos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central. De esta manera, el conjugado de un complejo z (denotado como ${\displaystyle {\bar {z}}}$ ó ${\displaystyle z^{*}\,\!}$) es un nuevo número complejo, definido así:

${\displaystyle {\bar {z}}=a-\mathrm {i} b\Longleftrightarrow z=a+\mathrm {i} b}$

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria. Con este número se cumplen las propiedades:

${\displaystyle {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}}$

${\displaystyle z+{\overline {z}}=2\cdot {\hbox{Re}}(z)}$

${\displaystyle z-{\overline {z}}=2i\cdot {\hbox{Im}}(z)}$

${\displaystyle {\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}}$

${\displaystyle z\in \mathbb {R} \Longleftrightarrow {\bar {z}}=z}$

${\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}\geq 0}$

${\displaystyle z\neq 0\Rightarrow {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}}$

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares.

Representaciones[editar]

Representación binómica[editar]

Un número complejo representado como un punto (en rojo) y un vector de posición (azul) en un diagrama de Argand; ${\displaystyle a+bi}$ es la expresión binomial del punto.

Un número complejo se representa en forma binomial como:

${\displaystyle z=a+bi\,}$

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como se muestra a continuación:

${\displaystyle a={\hbox{Re}}(z)=\Re (z)}$

${\displaystyle b={\hbox{Im}}(z)=\Im (z)}$

Representación polar[editar]

El argumento φ y módulo r localizan un punto en un diagrama de Argand; ${\displaystyle r(\cos \phi +i\sin \phi )}$ o ${\displaystyle re^{i\phi }}$ es la expresión polar del punto.

En esta representación, ${\displaystyle \textstyle {r}}$ es el módulo del número complejo y el ángulo ${\displaystyle \textstyle {\phi }}$ es el argumento del número complejo.

${\displaystyle \textstyle {\phi }=\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)=\arctan \left({\frac {{\hbox{Im}}(z)}{{\hbox{Re}}(z)}}\right)=-\arctan \left(-{\frac {{\hbox{Im}}(z)}{{\hbox{Re}}(z)}}\right)}$

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {a}{r}}\ ,\ \sin \phi ={\frac {b}{r}}}$

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

${\displaystyle z=a+\mathrm {i} b;\;z=r\cos {\phi }+\mathrm {i} r\sin {\phi }}$

Sacamos factor común r:

${\displaystyle z=r\left(\cos {\phi }+\mathrm {i} \sin {\phi }\right)}$

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:

${\displaystyle \ z=r\;\operatorname {cis} \;{\phi }}$

la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno del argumento respectivamente.

Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con la representación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo y argumento, respectivamente.

Según la Fórmula de Euler, vemos que:

${\displaystyle \cos {\phi }+\mathrm {i} \sin {\phi }=e^{\mathrm {i} \phi };\;z=re^{i\phi }}$

No obstante, el ángulo ${\displaystyle \phi }$ no está unívocamente determinado por z, pueden existir infinitos números complejos que tienen el mismo valor representado en el plano, que se diferencian por el número de revoluciones, ya sean de sentido antihorario (positivas) u horario (negativas) las cuales se representan por números enteros ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$, como implica la fórmula de Euler:

${\displaystyle \forall {k}{\in }\mathbb {Z} \;z=e^{\mathrm {i} (\phi +2\pi {}k)}}$

Por esto, generalmente restringimos ${\displaystyle \phi }$ al intervalo [-π, π) y a éste ${\displaystyle \phi }$ restringido lo llamamos argumento principal de z y escribimos φ=Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

Lunes 17
Habitad III
Jueves 20
HABITAD III

Lunes 24

Números complejos-Radicación

Si z es un número complejo, entonces admite una representación mediante módulo y argumento (forma polar) de la forma:

${\displaystyle z=a+bi=\rho e_{}^{i\theta }}$, donde ${\displaystyle \;\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\quad \theta =\arg(a+bi)}$

De esta manera, en forma polar, las raíces n-ésimas de z, necesarias para la ecuación ${\displaystyle x_{}^{n}=z}$, pueden ser calculadas por medio de la fórmula:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{\rho e^{i\theta }}}\,=\,{\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{i{\theta +2\pi k \over n}},\ k\in \{0,1,\cdots ,n-1\}}$

Por tanto, un número complejo tiene n raíces enésimas distintas. En el plano complejo están dispuestas en los vértices de un polígono regular de n lados con centro en el origen del plano complejo. La raíz cúbica y la distancia del centro de dicho polígono a sus vértices es ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\rho }}}$

Ejemplo

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}={\sqrt[{3}]{1\,e^{i0}}}=\left\{{\begin{array}{ccc}{\sqrt[{3}]{1}}\,e^{i{0+2\pi \cdot 0 \over 3}}&=&1+0i\\{\sqrt[{3}]{1}}\,e^{i{0+2\pi \cdot 1 \over 3}}&=&-{1 \over 2}+{{\sqrt {3}} \over 2}i\\{\sqrt[{3}]{1}}\,e^{i{0+2\pi \cdot 2 \over 3}}&=&-{1 \over 2}-{{\sqrt {3}} \over 2}i\end{array}}\right.}$

Potenciación

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base z y exponente n y escribe zⁿ. Si n es un número entero positivo, y  z es un número complejo, dado en forma polar: z = r(cos θ + i sen θ),  entonces se tiene que zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sen nθ) ésta es la llamada Fórmula de De Moivre.


Jueves 27

No clases

Lunes 31

Fórmula de Euler

La fórmula de Euler o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece el teorema, en el que:

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\,\operatorname {sen} x}$

para todo número real x, que representa un ángulo en el plano complejo. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria, ${\displaystyle \operatorname {sen} x}$ y ${\displaystyle \cos x}$ son las funciones trigonométricas seno y coseno.

O bien se suele expresar como:

${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\,\operatorname {sen} \,y)}$

siendo ${\displaystyle z}$ la variable compleja definida por ${\displaystyle z=x+iy}$

Demostración usando las Series de Taylor[editar]

La fórmula de Euler ilustrada en el plano complejo.

Sabiendo que:

${\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&{}=1,\quad &i^{1}&{}=i,\quad &i^{2}&{}=-1\quad &i^{3}&{}=-i,\\i^{4}&={}1,\quad &i^{5}&={}i,\quad &i^{6}&{}=-1,\quad &i^{7}&{}=-i,\\\end{aligned}}}$

y así sucesivamente. Además de esto, las funciones e^x, cos(x) y sen(x) (asumiendo que x sea un número real) pueden ser expresadas utilizando sus series de Taylor alrededor de cero.

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&{}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \\\cos x&{}={\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\sin x&{}={\frac {x^{1}}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}}$

Definimos cada una de estas funciones por las series anteriores, remplazando x por i·z, donde z es una variable real e i la unidad imaginaria. Esto es posible porque el radio de convergencia es infinito en cada serie. Entonces encontramos que:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{iz}&{}={\frac {(iz)^{0}}{0!}}+{\frac {(iz)^{1}}{1!}}+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}={\frac {z^{0}}{0!}}+i{\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}-i{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+i{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-i{\frac {z^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left({\frac {z^{0}}{0!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left({\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos(z)+i\sin(z)\end{aligned}}}$

El reordenamiento es posible debido a que cada serie es absolutamente convergente. Remplazando z = x como un número real resulta en la identidad original tal como la descubrió Euler.

Logaritmo de un número negativo[editar]

En este caso, la fórmula de Euler es evaluada en ${\displaystyle x=\pi }$ , obteniendo la identidad de Euler:

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }=\cos \pi +\mathrm {i} \,\operatorname {sen} \pi =-1}$

${\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }=-1\,\!}$

Luego, al aplicar el logaritmo natural se obtiene:

${\displaystyle \mathrm {i} \pi =\ln(-1)\,\!}$.

Logaritmo de un número negativo cualquiera[editar]

Como extensión de la ecuación anterior, el logaritmo de cualquier número negativo se define como:

${\displaystyle \ln(-a)=\ln(a)+\ln(-1)=\ln(a)+\mathrm {i} \pi \,\!}$. Donde ${\displaystyle a>0}$.

Además puede definirse el logaritmo de un número negativo en cualquier base, a partir del logaritmo natural y la fórmula de cambio de base.

Integración y derivación[editar]

Una propiedad importante de la fórmula de Euler es que es la única función matemática que permanece con la misma forma (excepto por la unidad imaginaria) con las operaciones de integración y derivación del cálculo integral, lo que permite que se utilice para convertir ecuaciones diferenciales en ecuaciones con forma algebraica, simplificando enormemente esas operaciones.

De las reglas de la exponenciación

${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}\cdot e^{b}}$

y

${\displaystyle (e^{a})^{b}=e^{a\cdot b}}$

(válidas para todo par de números complejos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$), se pueden derivar varias identidades trigonométricas, así como la fórmula de De Moivre.

Funciones trigonométricas[editar]

La fórmula de Euler también permite interpretar las funciones seno y coseno como meras variaciones de la función exponencial:

${\displaystyle \cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}}$

${\displaystyle \operatorname {sen} x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}}$

A partir de estas igualdades, es posible definir las funciones trigonométricas para los números complejos de este modo: ¹

${\displaystyle \operatorname {sen} z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{2i}}}$

${\displaystyle \cos z={\cfrac {e^{zi}+e^{-zi}}{2}}}$

${\displaystyle \tan z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{e^{zi}+e^{-zi}}}*{\cfrac {1}{i}}}$

siendo ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$, es decir, que pertenece al conjunto de números complejos. Estas funciones trigonométricas cumplen las leyes de sus similares aplicadas a los números reales. Sean los números complejos ${\displaystyle z}$ y ${\displaystyle w}$, es decir ${\displaystyle z\land w\in \mathbb {C} }$, entonces son válidas las siguientes igualdades:

${\displaystyle \cos ^{2}{z}+\operatorname {sen} ^{2}{z}=1}$

${\displaystyle \cos(-z)=\cos(z)}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(-z)=-\operatorname {sen}(z)}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(z+w)=\operatorname {sen}(z)\cos(w)+\operatorname {sen}(w)\cos(z)}$

${\displaystyle \cos(z+w)=\cos(z)\cos(w)-\operatorname {sen}(w)\operatorname {sen}(z)}$