Noviembre

Jueves 3

NO CLASES

Lunes 7

Función analítica Complejas

En matemáticas una función analítica es aquella que puede expresarse como una serie de potencias convergente. Una función analítica es suave si tiene infinitas derivadas. La noción de función analítica puede definirse para funciones reales o complejas, aunque ambos conjuntos tienen propiedades distintas. Las funciones complejas derivables en un abierto siempre son analíticas, y se denominan funciones holomorfas. Sin embargo, una función real infinitamente derivable no es necesariamente analítica.

Definición[editar]

La definición de función analítica es idéntica para los casos real y complejo:

Una función real (compleja) f es analítica en un punto x0 de su dominio si existe una serie de potencias centrada en x0: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+\ldots \,,}$ que converge en un entorno U ⊆ R (U ⊆ C) de x0 y que coincide con la función en dicho entorno: ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}{\text{ , para cada }}x\in U}$

De esta definición se puede demostrar la siguiente caracterización alternativa:

Una función analítica en x0 es infinitamente derivable en un cierto entorno U de dicho punto, en el que además su serie de Taylor: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}\,,}$ converge (y coincide con f).

Una función se dice analítica en un conjunto U si es analítica en cada punto de U. El conjunto de todas las funciones analíticas en un cierto abierto U se denota por C^ω(U).

Varias variables[editar]

La definición de función analítica puede extenderse para funciones (reales o complejas) de varias variables (definidas en Rⁿ o Cⁿ), sin más que considerar series de potencias de varias variables:

${\displaystyle \sum _{i_{1}\ldots i_{n}=0}^{\infty }a_{i_{1}\ldots i_{n}}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k})^{i_{k}}=a_{0\ldots 0}+a_{1\ldots 0}(x_{1}-c_{1})+\ldots +a_{0\ldots 1}(x_{n}-c_{n})+a_{2\ldots 0}(x_{1}-c_{1})^{2}+a_{11\ldots 0}(x_{1}-c_{1})(x_{2}-c_{2})+\ldots }$

Funciones holomorfas[editar]

Artículo principal: Función holomorfa

En el caso de las funciones complejas analíticas, existe un teorema que las caracteriza de manera mucho más sencilla, y que constituye uno de los rasgos fundamentales del análisis complejo:

Una función compleja f : D ⊆ C → C derivable en un abierto U, es analítica en U.

Un teorema similar se aplica en el caso de funciones complejas de varias variables que sean diferenciables:

Una función compleja f : D ⊆ Cn → C diferenciable en un abierto U es analítica en U.

Funciones suaves no analíticas[editar]

En variable real pueden encontrarse funciones suaves que no son analíticas. Un ejemplo de ello es la función:

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{l}e^{-1/x^{2}}{\text{ , si }}x\neq 0\\0{\text{ , si }}x=0\end{array}}\right.}$

Esta función es infinitamente derivable para cualquier x ∈ R, y en particular todas sus derivadas en 0 son nulas: f⁽ⁿ⁾(0) = 0. Por tanto, su serie de Taylor alrededor de 0 es identicamente nula, y en ningún entorno de dicho punto coinciden la función y la serie de Taylor.

Jueves 10

3. Derivación e integración de funciones complejas

3.1. Límits de funcions complexes

Las generalizaciones a las funciones complejas de las definiciones de este apartado, a partir de las definiciones correspondientes de las funciones reales, no es tan sencilla como en el apartado anterior. La razón principal de esta dificultad reside en el hecho de que las funciones complejas son equivalentes a funciones de dos variables reales y que en la definición de límite, derivada e integral la noción un punto tiende hacia otro es fundamental. Esta noción, como veremos, es un poco más complicada cuando los puntos en cuestión representan números complejos.

Observad que el conjunto de números complejos que son próximos a un número $z_0$ es un disco de centro $z_0$. En concreto, si queremos que sean más próximos que una cierta distancia $k$ pero sin considerar el mismo $z_0$, este punto lo debemos eliminar del disco de centro $z_0$ y radio $k$. Este conjunto recibe el nombre de entorno de radio $k$ del punto $z_0$. Por tanto, atendiendo a la estructura de estos entornos, si debemos analizar qué sucede cuando un número $z$ se aproxima a otro $z_0$ ($z$ →z0) en el plano complejo, significa que debemos pensar que se puede aproximar por trayectorias bien distintas.

$L$ es el límite de la función compleja $f\left(z\right)$ cuando $z$ al número complejo $z_0$, ${lim}_{z\to z_0}f\left(z\right)$ = L, si:

• $f\left(z\right)$ está definida en un entorno de la función $z_0$ (números complejos próximos a $z_0$, excepto quizás el mismo $z_0$).
• Los valores de $f\left(z\right)$ se aproximan a $L$ tanto como se quiera, y esto se consigue haciendo que $z$ se aproxime a $z_0$ con cualquiera de las trayectorias posibles.

Por tanto, cuando el límite existe significa que para cualquiera de las trayectorias con las que $z$ →z0, se da que $f\left(z\right)$ →L (observad la figura 14).

Figura 14: El mismo límite para diferentes trayectorias

La calculadora Wiris permite elaborar actividades interactivas que visualizan muy intuitivamente si una función compleja tiene límite o no en un punto. Practicad.

Una definición más precisa de límite es:
${lim}_{z\to z_0}f\left(z\right)$ = L si para cada $h$ número real positivo hay un $k$ número real positivo tal que para todo $z\ne z_0$ del entorno o disco $z$ : z -z0 < k se cumple que $\left|f\left(z\right)\right|$ -L < h ($f\left(z\right)$ está en el entorno de radio $h$ de $L$.

Sábado 12

Primera Prueba

Lunes 14

3.2 Derivación compleja

Se recomienda revisar la derivación de funciones reales en el módulo previo "Derivación".

La derivada de una función compleja $f\left(z\right)$ en $z_0$ ∈ℂ es, si existe, el límite siguiente:$$f^{\text{'}}\left(z_0\right)$$ = limz→z0 f(z) -f(z0) z -z0 .Cuando el límite existe se dice que $f$ es derivable o diferenciableen $z_0$.

La derivada, com en el caso real, es el límite de un cociente incremental. Que la función $f\left(z\right)$sea derivable en $z_o$ significa que para cualquier trayectoria de aproximación a $z_o$ el límite del cociente incremental es siempre un mismo número complejo.

Ejemplo 16

1. La función $f\left(z\right)$ = 2z + 3i es derivable en todo $z$ ∈ℂ.
   Si $z$ = x + yi, $z_0$ = x0 + y0i, el cociente incremental es $\frac{f\left(z\right)}{}$ -f(z0) z -z0 = 2x + (2y +3)i -2x0 -(2y0 + 3)i x + yi -(x0 + y0i) = 2[(x -x0) + (y -y0)i] (x -x0) + (y -y0)i = 2 .
   Por tanto, ${lim}_{z\to z_0}$ f(z) -f(z0) z -z0 = 2 para cualquier trayectoria.
2. La función $z$ — no es derivable en ningún punto.
   Si escribimos en forma binaria $z$ = x + yi, $f(x$ + yi) = x -yi y
   $z_0$ = x0 + y0i, el cociente incremental es:
   $\frac{f\left(z\right)}{}$ -f(z0) z -z0 = x -yi -(x0 -y0i) x + yi -(x0 + y0i) = (x -x0) -(y -y0)i (x -x0) + (y -y0)iEn este caso el límite ${lim}_{z\to z_0}$ f(z) -f(z0) z -z0 no existe globalmente, ya que las diferentes trayectorias rectilíneas por las cuales nos podemos acercar a $z_0$ dan valores diferentes para el límite (figura 17).
   
   
   Figura 17: Trayectorias rectilineas
   Para la trayectoria t1 el límite es $-i$ porque podemos escribir $x$ = x0 + t, $y$ = y0 + t. Si sustituís veréis que la expresión que nos da el cociente incremental se puede simplificar y se convierte en $1$ -i1 + i = -i.
   Para la trayectoria t2, situada en una recta de pendiente $-4$, podemos escribir $x$ = x0-t, $y$ = y0 + 4t. Si hacéis los cálculos obtindréis que el cociente incremental es $\frac{-t}{}$ -4t·i -t + 4t ·i y si simplificáis veréis que el límite es $1$ + 4i1 -4i = -15 17 - 8 17i. Y así para cada trayectoria hallamos un límite diferente.

Como puede verse, probar que una función compleja tiene derivada en un cierto dominio $D$es muy complicado, ya que se debe demostrar que el límite existe y es el mismo para todas las trayectorias de aproximación.

Hemos visto anteriormente que las funciones complejas pueden darse de la forma $f\left(z\right)$ =u(x,y) + v(x,y)i, con $u$ y $v$ funciones de dos variables. En este caso, afortunadamente, existe una condición necesaria y suficiente para que la función $f\left(z\right)$ tenga derivada en los puntos de un dominio $D$. Bastará comprobar esa condición, que es mucho más fácil que comprobar el límite para todas las trayectorias, para probar que la funcion es derivable en ese dominio.

La función $f\left(z\right)$ = u(x,y) + v(x,y)i es derivable en el dominio $D$ si se cumple que las derivadas parciales $\frac{\partial u}{\partial x},$ ∂u ∂y, ∂v ∂x y $\frac{\partial v}{\partial y}$ son funciones continuas y, además, se cumplen las condiciones siguientes, llamadasecuaciones de Cauchy-Riemann:
$$\frac{\partial u}{}$$ ∂x = ∂v ∂y, ∂u ∂y = -∂v ∂x.En tal caso:
$$f$$ ' ( z ) = ∂ u ∂ x + i ∂ v ∂ x

$\frac{\partial u}{\partial x}$ = du(x,y) dx (se toma $y$ como una constant y se deriva respecto a $x$,
$\frac{\partial u}{\partial y}$ = du(x,y) dy , $\frac{\partial v}{\partial x}$ = dv(x,y) dx , $\frac{\partial v}{\partial y}$ = du(x,y) dy , respectivamente.
Una demostración de este teorema se encuentra en el apartado 2.2 del libro Métodos Matemáticos, la referencia está en el apartadp "Bibliografía" de este módulo.

Jueves 17

Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son dos ecuaciones diferenciales parciales que son básicas en el análisis de funciones complejas de variable compleja, debido a que su verificación constituye una condición necesaria (aunque no suficiente) para la derivabilidad de este tipo de funciones.

Sea una función compleja ${\displaystyle f(z)}$, con ${\displaystyle z=x+iy}$. Se sabe que ${\displaystyle f(z)}$ se puede descomponer en suma de dos funciones reales de dos variables ${\displaystyle u}$ y ${\displaystyle v}$, de manera que ${\displaystyle f(z)=f(x,y)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$. Si la función ${\displaystyle f(z)}$ es derivable en un punto ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+iy_{0}}$ entonces deben verificarse las condiciones de Cauchy-Riemann:

${\displaystyle u_{x}(x_{0},y_{0})=v_{y}(x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle u_{y}(x_{0},y_{0})=-v_{x}(x_{0},y_{0})}$

donde ${\displaystyle u_{x}}$ significa la derivada parcial de la función ${\displaystyle u}$ respecto a la variable ${\displaystyle x}$, usualmente simbolizado ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}}$ . Análogamente para ${\displaystyle u_{y}}$, ${\displaystyle v_{x}}$ y ${\displaystyle v_{y}}$.

Además se cumple que el valor de la derivada en el punto, de existir, debe ser:

${\displaystyle f'(z_{0})=u_{x}(x_{0},y_{0})+iv_{x}(x_{0},y_{0})=v_{y}(x_{0},y_{0})-iu_{y}(x_{0},y_{0})}$

Índice

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• 1Demostración
• 2Ejemplo
• 3Otras formas de expresar las ecuaciones
• 4Observación
• 5Aplicación

Demostración[editar]

Sea f una función de variable compleja:

${\displaystyle f(z=(x,y))=u(x,y)+i\,v(x,y)}$

que es derivable en un punto ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} \,:\,z_{0}=(x_{0},y_{0})=x_{0}+i\,y_{0}}$. Dado que es derivable, sabemos que:

${\displaystyle \exists \lim _{z\rightarrow z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{\Delta z}}=\lim _{(x,y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {u(x,y)+i\,v(x,y)-u(x_{0},y_{0})-iv(x_{0},y_{0})}{(x-x_{0})+i(y-y_{0})}}}$

donde este último es un límite doble en el plano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ debido a la equivalencia topológica existente entre ${\displaystyle \mathbb {C} }$ y ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ con la distancia euclídea. En tal caso, si existe el límite doble, sabemos que existen los límites direccionales y que coinciden. En particular, existirán los límites direccionales a lo largo de ${\displaystyle x=x_{0}}$ y de ${\displaystyle y=y_{0}}$. Por consiguiente:

1) ${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{(x,y_{0})\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {u(x,y_{0})+i\,v(x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})-iv(x_{0},y_{0})}{(x-x_{0})+i(y_{0}-y_{0})}}=}$

${\displaystyle =\lim _{(x,y_{0})\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {u(x,y_{0})-u(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}+i\,\lim _{(x,y_{0})\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {v(x,y_{0})-v(x_{0},y_{0})}{\Delta x}}=}$

${\displaystyle =\partial _{x}u((x_{0},y_{0}))+i\,\partial _{x}v((x_{0},y_{0}))\equiv u_{x}(x_{0},y_{0})+i\,v_{x}(x_{0},y_{0})}$

2) ${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{(x_{0},y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {u(x_{0},y)+i\,v(x_{0},y)-u(x_{0},y_{0})-iv(x_{0},y_{0})}{(x_{0}-x_{0})+i(y-y_{0})}}=}$

${\displaystyle =\lim _{(x_{0},y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {u(x_{0},y)-u(x_{0},y_{0})}{i\Delta y}}+i\,\lim _{(x_{0},y)\rightarrow (x_{0},y_{0})}{\frac {v(x_{0},y)-v(x_{0},y_{0})}{i\Delta y}}=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{i}}\partial _{y}u((x_{0},y_{0}))+\partial _{y}v((x_{0},y_{0}))\equiv v_{y}(x_{0},y_{0})-i\,u_{y}(x_{0},y_{0})}$

Si ahora igualamos 1 y 2, se deduce de manera inmediata el enunciado anterior, que se denomina ecuaciones de Cauchy-Riemann

Ejemplo[editar]

Veamos un ejemplo donde derivable en todo número complejo y por lo tanto las ecuaciones de Cauchy-Riemann se verificarán en cualquier ${\displaystyle z=x+iy}$. Consideramos la función ${\displaystyle f(z)=z^{2}}$. Ahora veamos esta función en coordenadas cartesianas.

${\displaystyle f(x+yi)=(x+yi)^{2}=(x^{2}-y^{2})+i2xy}$

por lo tanto las parte real e imaginaria de la función son ${\displaystyle u(x,y)=x^{2}-y^{2}}$ y ${\displaystyle v(x,y)=2xy}$ respectivamente. Derivado con respecto a ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ es inmediato que

${\displaystyle u_{x}=2x=v_{y}}$

y que

${\displaystyle u_{y}=-2y=-v_{x}}$.

Por último verifiquemos la condición sobre las derivadas. La derivada (ver Complex analysis) de ${\displaystyle f}$ es claramente ${\displaystyle f'(z)=2z}$ (las reglas para derivar funciones complejas es similar a las funciones reales) por lo tanto

${\displaystyle f'(x+iy)=2(x+iy)=2x+i2y=u_{x}+iv_{x}=v_{y}-iu_{y}}$

Otras formas de expresar las ecuaciones[editar]

Algunas formas equivalentes de expresar las condiciones de Cauchy-Riemann son las siguientes:

${\displaystyle f_{x}+if_{y}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\hat {z}}}}=0}$

Observación[editar]

Hay que hacer notar que las ecuaciones de Cauchy-Riemann no constituyen una condición suficiente, por lo que no valen por sí solas para demostrar la derivabilidad de una función en un punto.

Sin embargo, sí tenemos condiciones suficientes de derivabilidad si la función, además de cumplir las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se puede descomponer en dos funciones u y v con derivadas parciales primeras continuas en un entorno de ${\displaystyle z_{0}=(x_{0},y_{0})}$.

Aplicación[editar]

Se dice que una función de clase ${\displaystyle C^{2}}$ de dos variables ${\displaystyle h(x,y)}$ con imagen en los reales es armónica cuando verifica la ecuación de Laplace:

${\displaystyle h_{xx}+h_{yy}=0}$.

No es difícil verificar que dos funciones de clase ${\displaystyle C^{2}}$ que verifiquen las condiciones de Cauchy-Riemann son ambas armónicas. En tal caso se dice que ellas son armónicas conjugadas...

Lunes 21

Funciones Armonicas

Jueves 24

FUNCIONES TRASCENDENTES

INTEGRACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Lunes 28

http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/nunez/cursos/MetodosMatematicos2/2008B/S012_C36.pdf