Diciembre

Jueves 1

SEGUNDA PRUEBA

Lunes 5

NO CLASES

Jueves 8


Lunes 12

EXAMEN PRIMER SEMESTRE

Jueves 15

Lunes 19

SERIES COMPLEJAS

Series y Sucesiones

Las sucesiones y serie de  variable compleja son similares a las sucesiones y series de variable real.

El análisis de convergencia se realiza de igual manera que para el caso de variable real.

En el casi de la variable compleja se presenta el caso de la serie de Laurent, que es propia de los números complejos y que no se define para los números reales 

Sucesiones

La sucesión compleja es una función de los números naturales en los números complejos 

f : N → C

Ejemplo:

f (n) =    in

los elemntos de la sucesión son:

 {   io ,  i , i2 ,  i3 ,………..,in ,….. }

Es una sucesión compleja que se le denota por   :{ Zn }

Propiedades:

1. Sea   Zn =  xn +i yn , para cada entero positivo o " n " y sea " L " = a+ bi , entonces

                        lim       xn = a                               ^                              lim         yn = b   

                        n→∞                                                           n→∞

Sean { Zn }→ L    ^     { Wn }→ K , entonces se cumplen
2.  { Zn  + Wn }→ L + K
3.  { ∝ Zn }→ ∝ L
4.  { Zn  * Wn }→ L * K
5.  { Zn  +/Wn }→ L / K ;    K ≠ 0 ;    Wn  ≠0

Series

Si  { Zn } =   { Z1, Z1 , Z2 , Z3,......,Zn,  }

     

= Z1+ Z1 + Z2 + Z3+....,Zn

La convergencia de la serie compleja se analiza con los criterios de las series reales 

{Zn } =  {   io ,  i , i2 ,  i3 ,………..,in ,….. }

Propiedades

    Series reales divergentes                       Series  reales convergentes 

Series especiales

1) Serie geométrica

2) Serie armónica

3) Serie "p"

Criterio de convergencia

Criterio de la raíz

Teorema

 Jueves 22                                                                  

Series de Taylor

Una función analítica admite un desarrollo mediante una serie de Taylor compleja de forma similar a las funciones reales

Propiedad 1 


Si f es analítica en  Z0 ,f tiene un desarrollo mediante una serie de Taylor representada por

Si   Z0 =0, entonces la serie toma el nombre de serie de Maclaurin

Series de Laurent

• Si f(Z) no es analítica en Z0  ,entonces no admite desarrollo mediante series de Taylor
• En este caso se define la serie de Laurent que es propia de funciones de variable compleja
• Sea    δ1 = | Z - Z0 | > r    ^    δ2 = | Z - Z0 | <  R                       r <  R

            D= { Z ϵ C / r < | Z - Z0 | < R }

regularmente limitada por r1 y r2

Sea  f: Dc      C → C, función analítica dentro y sobre la frontera de D entonces

Teorema

Sea f(Z) analítica en el anillo    r < | Z - Z0 | < R, entonces para todo Z este anillo 

   

 | Z - Z0 | = ρ                                                       r <  ρ < R,